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【答案】
4.（1）证明：$because $四边形ABCD是正方形，
$therefore angle mathrm{B}=angle mathrm{C}={90}^{circ }$，$mathrm{BC}=mathrm{CD}$。
如解图①，过点G作$mathrm{GM}bot mathrm{AB}$于点M，
则四边形BCGM是矩形，
$therefore mathrm{GM}=mathrm{BC}$，$angle mathrm{GMF}=angle mathrm{DGM}={90}^{circ }$。
$because mathrm{DE}bot mathrm{FG}$，
$therefore angle mathrm{DHG}={90}^{circ }$，
$therefore angle mathrm{HDG}+angle mathrm{DGH}=angle mathrm{DGH}+angle mathrm{HGM}={90}^{circ }$，
$therefore angle mathrm{MGF}=angle mathrm{CDE}$。
$because mathrm{CD}=mathrm{BC}=mathrm{GM}$，
$therefore triangle mathrm{CDE}ykcong triangle mathrm{MGF}left(mathrm{ASA}right)$，
$therefore mathrm{DE}=mathrm{FG}$；
（2）证明：如解图②，连接DF，DM，
$because $H为FM的中点，
$therefore mathrm{FH}=mathrm{HM}$。
$because mathrm{DE}bot mathrm{FG}$，
$therefore mathrm{DF}=mathrm{DM}$。
$because angle mathrm{A}=angle mathrm{DCM}={90}^{circ }$，$mathrm{AD}=mathrm{DC}$，
$therefore mathrm{Rt}triangle mathrm{ADF}ykcong mathrm{Rt}triangle mathrm{CDM}left(mathrm{HL}right)$，
$therefore mathrm{AF}=mathrm{CM}$；
（3）如解图③，过点H作$mathrm{PQ}ykparallel mathrm{AB}$交AD于点P，交BC于点Q，
则四边形PQBA是矩形，
$therefore mathrm{PQ}=mathrm{AB}$，$mathrm{AP}=mathrm{BQ}$，$angle mathrm{APQ}=angle mathrm{PQB}={90}^{circ }$。
$because mathrm{BF}=2mathrm{AF}$，
$therefore $设$mathrm{AF}=mathrm{x}$，$mathrm{BF}=2mathrm{x}$，
$therefore mathrm{AB}=mathrm{PQ}=mathrm{BC}=3mathrm{x}$，$mathrm{CM}=mathrm{AF}=mathrm{x}$。
$because $H为FM的中点，$mathrm{HQ}ykparallel mathrm{BF}$，
$therefore mathrm{HQ}=dfrac{1}{2}mathrm{BF}=mathrm{x}$，$mathrm{BQ}=mathrm{QM}=dfrac{1}{2}mathrm{BM}=2mathrm{x}$，
$therefore mathrm{PH}=2mathrm{x}$，$mathrm{AP}=2mathrm{x}$。
$because $点N是AD的中点，
$therefore mathrm{AN}=dfrac{1}{2}mathrm{AD}=dfrac{3}{2}mathrm{x}$，$mathrm{PN}=mathrm{AP}-mathrm{AN}=dfrac{1}{2}mathrm{x}$。
$because {mathrm{HN}}^{2}={mathrm{PN}}^{2}+{mathrm{PH}}^{2}$，
$therefore 17={left(dfrac{1}{2}mathrm{x}right)}^{2}+{left(2mathrm{x}right)}^{2}$，
解得$mathrm{x}=2$（负值舍去），
$therefore mathrm{BF}=4$，$mathrm{BM}=8$，
$therefore mathrm{FM}=sqrt{{mathrm{BF}}^{2}+{mathrm{BM}}^{2}}=4sqrt{5}$，
$therefore mathrm{HM}=2sqrt{5}$。
$because angle mathrm{B}=angle mathrm{EHM}={90}^{circ }$，$angle mathrm{HME}=angle mathrm{BMF}$，
$therefore triangle mathrm{EHM}backsim triangle mathrm{FBM}$，$therefore dfrac{mathrm{HM}}{mathrm{BM}}=dfrac{mathrm{EM}}{mathrm{FM}}$，
$therefore dfrac{2sqrt{5}}{8}=dfrac{mathrm{EM}}{4sqrt{5}}$，
$therefore mathrm{EM}=5$。
本文到此结束，希望对大家有所帮助。